“古代中国没有科学”的观点，引发了网友们的广泛争议。之所以产生争议，很大程度上是对“科学”的定义有不同的理解。很多网友已经指出：科学是对于自然现象背后规律、原理的系统性总结，这样的科学（也就是严格意义上的科学），中国古代确实没有。

不过，让许多爱国情结深厚的网友难以接受的，是我的下述观点：古代全球各文明都没有科学---古希腊除外。网友们的不接受完全可以理解：希腊，一个孤悬地中海的贫瘠半岛，与同时代富饶、广阔的中国完全无法相比，凭什么就能够独享发明了科学的荣誉呢？！凭什么古希腊发明的就是科学，而其他文明发明的（比如中国的“四大发明”）就不是科学呢？！

(资料图)

我发现，网友们普遍忽视了（或者不了解）古希腊数学的价值！记得马克思说过大意如下的话：一门学问只有在达到能够应用数学研究的水平时，才能真正称之为科学。可以说，现代科学之所以能够取得如此辉煌的成就，就是因为数学为它插上了翅膀！！

而古希腊之所以能够独享发明了科学的荣耀，首先就是因为在数学领域取得了其他古代文明望尘莫及的巨大成就，并且成为整个古希腊科学传统的源头。

下面就让我们来看看他们是怎样取得这样的成就的吧。以下内容引自香港陈方正教授的专著《继承与叛逆》。（另外，必须做一个更正：以前我把陈方正教授的名字误写为“陈与正”，在此向陈教授道歉！）

一

古希腊之所以能够取得其他古代文明远远达不到的数学成就，首先是因为---他们站在了巨人的肩膀上！他们继承了两大古代文明---古埃及和古巴比伦---的数学（还有其他科学）成就。

苏格兰律师林德在埃及掘墓得到的“林德数学手卷”（用草纸或羊皮记录），以及现在世界各大博物馆中收藏的几十万块古巴比伦陶泥板，确切地记录了这两大古老文明令人震惊的数学水平。这些数学手卷和陶泥板属于公元前1800---1600这200年间，相当于中国商代以前的三皇五帝时期。

先看看埃及当时的数学成就：

1.单分数，即分子为1的分数。如2/11=1/6+1/66;2/71=1/40+1/568+1/710。2复比例问题。3.长方形、三角形和梯形面积，圆柱体、方柱体体积，斜率。4.圆周率的有效值达到3.16。5.计算截锥体，即金字塔截去尖端而成为平顶立体的体积公式。6.计算“开口篮子”（即半球）的表面积公式：A=2r.r.圆周率。

再看看古巴比伦的。他们使用60进制计数法，最杰出的成就是解方程式，包括大量线性方程和一般二次方程的通解。因为当时还没有未知数的概念，所以方程问题都是用长方形、面积、边长这些几何词汇来建构，解方程则用面积剪贴、长度加减来表达。求平方根则用近似公式、反复代入法。还有解不齐三次方程的成功尝试，以及幂数表。他们十分热衷于各种几何图形分割，技巧亦十分纯熟、巧妙。他们显然知道并经常运用毕达哥拉斯定理，甚至可能已经证明了它。

远古数学给我们的启示是：数学虽然起源于实用，但它的进一步发展也就是“突破”却有赖于“超实用”的兴趣与动机，也就是纯粹为了好奇或者炫耀而做的探究，以及容许甚至鼓励这种探究的环境。

有专家认为，数学的突破出现于旧巴比伦王朝，很可能是因为它大规模发展了气氛宽松、带有人文气息和自主性的文士学堂。这些学堂提供了具有普遍意义的教育，即所谓博雅教育，而不仅仅是狭隘的技术、职业训练。数学欲发展到相当复杂的程度，似乎必须依靠一个有闲暇也有高度专业兴趣和自豪感的阶层之形成。而这种体制和阶层之消失，也可能就是数学突然中衰的原因。

二

古希腊人认为，他们的文化包括数学、哲学承受于埃及、巴比伦、波斯这些远古文明。他们最早的哲人泰勒斯和毕达哥拉斯相传都到过埃及和巴比伦，并且曾经长时期在那里的神庙跟随祭司学习。柏拉图在《对话录》中也一再借埃及祭司的口吻，提到他们悠久的传统和深不可测的累积智慧，在其面前希腊哲人只不过像是孩童。

希腊信史大致从首届奥林匹克竞技会（公元前776年）开始。毫无疑问，希腊文化上第一件大事是荷马史诗的出现，其确切年代希罗多德认为是在公元前850年左右。希腊科学是从自然哲学开始的。早期科学家就是自然哲学家。希腊哲学从头就与科学相近：它致力于探究自然奥秘而忽略人事，喜好抽象理论而忽视实用技术，反映的是所谓“重智”精神。这与中国讲究人伦、实用的“重德”精神，分别代表两种完全不同的文化倾向。

希腊哲学以柏拉图为宗师，他极端重视数学，认为它是完美与恒久理念的代表，也是培育“哲王”的理想教材；中国圣人孔子看重的则是“克己复礼”和忠恕之道，而绝少谈论自然事物。两大文明的基本分野至此也就昭然若揭了。这种差别的原因，应该与中国的终极目标是维系农业社会的和谐稳定，而希腊由彼此独立的小城邦构成，没有强大政治传统有关。

公元前6---5世纪是雅斯贝尔斯所谓的“轴心时代”。古代主要文明的核心思想文化都形成于此时：在印度，这是佛陀时代；在波斯，这是琐罗亚斯德时代；在中国，这是孔子、墨子和孙子时代；在希腊，这是泰勒斯、毕达哥拉斯等自然哲学家的时代。不过，孔子代表正统思想的振兴，而希腊的自然哲学却是个“周边现象”，它是以边缘影响中心，然后逐步渗透中心，成为主流的。

具体而言，希腊哲学的米利都学派、爱利亚学派和原子论学派都出现于希腊周边，并且与其时的希腊主流文化相异：它们的基本关怀在于无关实际的宇宙和大自然问题，因此称为“自然哲学”，而并非主宰希腊人心灵的奥林匹克诸神，或者迫在眉睫的政治、军事问题。不仅如此，其思维模式也几乎全然以思辨为主，也就是推理的、抽象的，绝少涉及政治和社会的实际考虑。

希腊自然哲学起源于公元前6世纪的爱奥尼亚，其始祖是泰勒斯，他建立了米利都学派。在此学派之外，爱奥尼亚还有3位重要哲人：色诺芬、毕达哥拉斯和赫拉克利特。他们声气相通，相互激发，他们就是希腊哲学与科学的开创者。此外，希腊早期好些重要科学家，例如数学家希波克拉底和尤多索斯，还有希腊医学始祖希波克拉底，也都是爱奥尼亚人。因此，爱奥尼亚是名副其实的希腊哲学的摇篮。

泰勒斯是希腊哲学的开山祖师。他和雅典宪政之父梭伦一样，被公认为古希腊“七贤”之一，而泰勒斯居于首席。这显示他不仅仅以学问、见识和思想知名，也还有实际才能和城邦领导地位。无论如何，希腊哲学传统是由他触发，并且在相当程度上是由于他的魅力、典范而走上“重智”道路。泰勒斯首先以数学和天文学知名。

他被认为是把几何学从埃及传入希腊的第一人。据说他首先发现以下几何学定理：1.圆为其直径所等分；2.对顶角相等；3.三角形为其任何一边及其旁两角所决定；4.半圆中对应于直径的内接角是直角。泰勒斯又是希腊第一位天文学家。曾经测定冬至与夏至点，又曾经准确预言在公元前585年会发生日食。

其后不久，他就被推尊为贤人，而日食之年，以后也被视为希腊哲学的起点。其实在当时，准确预测日食超出了科学计算能力。泰勒斯的预言大概是基于巴比伦的“沙罗斯”周期，即日月食大约每18年又10日重现的粗略经验规律，以及埃及在公元前603年曾经发生日食的事实，而并非来自对日月食成因的认识。

其次，泰勒斯更重要的贡献，是提出宇宙“原理”，即其基本质料和运行原则为何的问题，这就把希腊人从神话中解放出来，改变了他们观察世界的角度和方向。他提出原理就是水，即把水看成万物的来源和本原。以某种自然界事物来解释自然万象，这是从原始宗教转向理性思维的关键，也就是希腊哲学与科学的开端。这些观念主要源于埃及、巴比伦。

不过，首先提出一套具体宇宙学说，从而创立米利都学派的，是继承泰勒斯的阿那克西曼德。他认为大地自然地悬浮于空中，没有任何支撑也不会移动。他对于天体、天象都提出了具体构想，很多看法接近于现代科学观念。他把泰勒斯的“原理”称为“原质”，认为现存事物的原质是“无穷”。学派的第三代传人是阿那克西米尼，他把“无穷”原质确定为“气”，成为日后地、火、水、气四元素说的雏形。

泰勒斯的崇高声望，激发了才智之士另树旗帜，以求驰誉当世的雄心。色诺芬认为宇宙没有生灭，就不需要有“原质”；一切都从大地而生，最后回归大地；大海是风、云、雨、水以及河流的源头。赫拉克利特最重要的发明是辩证思维模式，提出“人不能两次踏足于同一条河流”，所有事物都包括对立成分，而价值判断是相对的，因此可以统一。

爱奥尼亚哲学家之外，还有属于大希腊的意大利爱利亚学派。巴门尼德划时代的贡献是区分了确定不移的“真理”和因时因人而异的“意见”，前者只有通过严格逻辑推理的方法才能达到。他坚持现实世界是变动和虚幻的，而真实世界是恒久不变的，它只能凭我们的心智（即后来的‘理性“）来认识。这样，西方传统中最基本的二元论，即感觉和心智之间、实体世界和抽象世界之间，还有变化和恒久之间的截然对立，就都出现了。

巴门尼德的爱徒芝诺的诘难法被亚里士多德称之为”辩证法“，最有名的论题是阿喀琉斯追不上乌龟、飞矢不动，以证明运动不可能。此外，恩培多克勒划时代的贡献是发现了日食和日夜成因。雅典第一位哲学家是阿纳克萨格拉，他对于月光和月食成因做出了正确解释，在宇宙学上继恩培多克勒之后提出了彻底的多元论，即宇宙间有无数不同的元素，还把非物质性的”心智“作为宇宙一切事物的主宰。这样西方哲学的心物二元论正式出现。

公元前5世纪下半叶，酝酿超过一个世纪的自然哲学终于成熟，达到第一个高峰---原子论。原子论的始祖其实是德谟克利特的老师留基伯，他们师徒最重要的贡献是提出了”大虚空“（真空、空间）和”原子“这两个观念。原子是不可分割的，有无数不同大小、形状的原子，但其构成”质料“都一样。万物有生灭，但原子永存不灭。这样的天才观念令人惊叹。

三

公元前530年，毕达哥拉斯神秘教派诞生。它结合永生追求与宇宙奥秘探索的教义，日后成为柏拉图哲学及其学园背后的精神力量。在此强大力量鼓励下，以严格证明为特征的希腊数学诞生，它最后成为整个古希腊科学传统的源头。毕达哥拉斯的人格、事迹、信念，更成为西方智慧的象征和泉源，其影响历代相传不衰，一直延续到开普勒和牛顿。

毕达哥拉斯幼时有东方经历，曾经在埃及、巴比伦学习，然后建立了自己的教派。其教派有严格制度和纪律，对外严格保密。其教义的核心观念是：人的灵魂是生命的主宰，是永存的。通过冥想、数学与哲学探究可以恢复纯洁的灵魂，人死后灵魂根据修炼的深浅而投身于不同等级的生物，即所谓“转世”。人的个别灵魂是宇宙大灵魂的”流溢“。

毕氏教派的特点是宗教与科学并重，二者融为一体。这可能是它对信众和学者都具有强大魅力的秘密。按照教义，人的灵魂本来就是宇宙整体的一部分，要使受世俗躯体污染的灵魂得以分享宇宙的条理、秩序，从而得以自由自在，长存不灭，首先就要充分明白宇宙本身的原理、结构和奥秘。柏拉图说：”爱知者亲近神圣秩序“。因此，宇宙奥秘的探索便成为洁净身心、修炼灵魂的法门。

毕派认为数目是万物的基础---一切可知事物都有数目。数先生出几何形体，后者才转而化为天体和地上万物。偶数代表混沌和邪恶，奇数代表秩序和善良。4代表公义，5代表婚姻，10是”伟大、完整、无所不能“的数目，因为它由1、2、3、4构成，而这四者是构成几何形体以及音阶比例的基础。将数目观念应用到可见形体而有几何学，到可闻者而有音乐理论，到天体运动而有天文学。

毕派认为，1相当于没有大小的点，2相当于直线---两点决定直线，3相当于平面---三点决定平面，4相当于四面体或空间。四面体、立方体、八面体、12面体、20面体分别对应于火、土、气、天球的整体、水。天文学即自然哲学传统中的宇宙论，毕派认为宇宙中心有个”中央火球“，恒星在最外层环绕运行，其内是五大行星，然后依次是日、月、地球，以及最接近火球的”反地球“。

毕达哥拉斯所建立的，是一个组织严密，思想深刻，具有整套人生观、灵魂观、宇宙观的庞大教派。它不但在当时声势浩大，而且在毕氏去世后，通过杰出的后代传人深刻影响柏拉图及其学园，并且在此前后触发了一场决定性的数学革命，由是开创了古希腊乃至整个西方文明的数理科学大传统。这个大传统在17 世纪经过再一次观念上的大革命而蜕变为现代科学。

但是，诸如几何学与天文学这些困难、高度抽象而又没有明显实际应用价值的智力探索，何以能够捕获柏拉图和他的弟子的心灵，并且在学园中成为学术主流呢？事实上，在柏拉图时代，有许多不同思潮风起云涌于雅典。其中最有势力的，是以言辞论辩技巧为尚的所谓“智者运动”；至于思想最锋锐、最能吸引年轻人的，则是柏拉图最初的老师苏格拉底，他所关心的是道德和政治。

智者和苏格拉底对于抽象的数理天文都毫无兴趣，认为是虚耗精力的不急之务。甚至柏拉图才华超众的大弟子亚里士多德也不好数学---他的哲学偏向于“目的论”，而他雄心勃勃的科学研究则以博物学为主。因此，学园的强大数理传统绝非顺理成章，而是在背离雅典思想风尚，亦即在“逆流而上”的情况下建立起来的。毕派学者何以能够经历一两个世纪之久而仍然不随流俗，维持轻忽现实而究心天外的传统，实在很不寻常，需要探究和解释。

在我们看来，解释就在于毕派所首先发现，而柏拉图所发扬光大的宗教与科学之结合，亦即永生追求与宇宙奥秘探索的相通。这一结合为原始的希腊宗教缔造了一个崭新的，比前远为高超奥妙的境界，同时也为数理天文的探究送上了绝大动力。柏拉图《对话录》中的《蒂迈欧篇》是一部科学百科全书，其中有一段画龙点睛的话：“倘若他对于知识与智慧的热爱是认真的，并且运用心智过于身体其余部分，那么自然就会有神圣和永恒的思想；倘若他获得真理，就必然会得到人性所能够赋予的最充分的永生。。。。。他就将得到无上幸福。”

毕氏教派即将覆灭之时，有一些人逃了出来，其中有费罗莱斯。柏拉图就是从费罗莱斯和他的弟子阿基塔斯那儿获得了毕氏学说、思想的。家世显赫的柏拉图，本来有意在政治上建功立业，但是老师苏格拉底之死改变了他的命运，令他改变初衷，决定以思辨、学术、探索和追求理念的永恒国度为终身职志。这是希腊文明的大转折----即其思辨、爱智精神从周边进入核心，然后逐渐成为思想主流的转折。柏拉图正是处于这个时期当中的枢纽人物。

.柏拉图对西方学术思想的深远影响是通过《对话录》和学园两者产生的，这两者有一个共同点---对数学的极端重视。这里所谓数学，是泛指算术、几何、天文、乐理等“四艺”，也就是以数学为核心的数理科学。此外，《对话录》还充满了对灵魂、前世、永生、天神等的讨论。因此，柏拉图所建立的西方学术传统，是以科学与宗教两者为核心，很显然，这个大方向是从毕达哥拉斯教派那里承接过来的。

柏拉图学园并非以传授知识为主的学院，而更接近于一群地位平等的独立学者的非正式聚会，其目的在于共同研讨、论难，但也不排除对年轻学者的教导。柏拉图树立了辨析论难的学风，并且影响研讨的主要方向。学园的研讨以数学为主，有门楣上的警句为证：“不习几何学者不得入此门。”毕氏学派与柏拉图学园的结合，导致了西方第一次科学革命，那可以很恰当地借用柏拉图对毕达哥拉斯的美誉，称之为“新普罗米修斯革命”。这次革命，可以以它的成果---欧几里得的《几何原本》来代表。

四

革命往往是由严重冲突所产生的危机引起，政治革命如是，科学革命也不例外。新普罗米修斯革命起源于算术与几何两方面的危机与挑战，亦即无理数与几何三大难题的出现。我们知道，“万物皆数”是毕氏学派的最基本信念，而这“数目”只能是正整数，即所谓“自然数”；而分数的分子、分母也都必须是自然数。但是有一天，毕氏的学生发现：如果直角三角形的两条直角边都为1，那么它的斜边的长度就不能表示为任何自然数之比，也就是说，它是一个无理数。

无理数的发现，对于毕氏教派是一个极大的震撼，因为这将使他们的基本信念面临崩溃的危险！因此，这一发现被视为教派绝大的秘密，向外界泄露者等同叛徒而要被处死。然而，这一发现也激起了彻底了解无理数的好奇和决心，从而触发了西方第一次科学革命。首先做出贡献的是柏拉图的老师特奥多鲁斯，他证明了3---17之间的非平方数（即其方根并非整数者）的平方根都是无理数。他的学生泰阿泰德则证明了所有非平方数的平方根都是无理数，并且对无理数做了详细分类。

几何三大难题的挑战和无理数危机大致同时出现，都在公元前5世纪中叶。这三大难题是：“圆方等积”问题，即求与圆有相同面积的正方形的边长，也就是求所给圆的面积；“倍立方”问题，即求将所给立方体的体积加倍时，其新的边长为何；“三分角”问题，即将所给角度三等分。这三个不可能用初等方法（即只用直尺和圆规）解决的难题，在一个多世纪时间里，引起了几乎所有重要自然哲学家、数学家的浓厚兴趣，但涉及的主要是希腊本土学者。

真正接受三大难题挑战的，是希腊第一位专业数学家希波克拉底。他证明了“倍立方”问题相当于连比例或者复比例问题。另一个有重大贡献的是智者安提芳，他已经意识到内接正多边形在边的数目无限增加时，圆面积是其面积的“极限”，这成为日后尤多索斯和阿基米德更精确工作的基础。另一位智者希皮亚斯则发现了称为“求积线”或“三分线”的高次曲线，可用于解决圆方等积以及三分角问题。

学园出现后大半个世纪间，希腊数学出现了三个新方向：从平面走向立体，从个别证明走向系统方法，以及脱离直线与圆的限制，迈向圆锥曲线和高次曲线，乃至超越曲线的探究。尤多索斯对这些新发展做出了革命性贡献，他建立了严格、普遍与系统的方法，其核心是比例理论与归谬法，这日后成为希腊数学乃至天文理论的基础与典范。此外，他还是利用几何学来建构天体运行模型的第一人。无论在数学还是天文学上，他都是开创新时代的人物，堪称为古希腊的牛顿。

尤多索斯的著作已经全部失传，但阿基米德却在自己著作中将发明归谬法的功劳归于他。他最重要的贡献是提出了比值的精确定义和极限观念。比值的定义之所以是一个问题，是因为要将“比例”应用于几何形体的测比，就必须把它由希腊人心目中的“数目”（只能是自然数）扩展到“实数”（包括有理数和无理数）。尤多索斯的比例理论，为比值a/b在实数范围内找到了严格定义，即找到了清楚划分两组有理分数的“分割数”。它事实上就是19世纪的所谓“狄德金分割”。这一划时代的发明，为几何学中各种线段的精确测度奠定了稳固基础。

要研究曲线所包围的面积，或者曲面所包围的体积，最基本的办法是用多边形（多面体）来逼近曲线（曲面）。但到底何谓“逼近”？尤多索斯为解决此问题提出了归谬法。此法的核心是“尤多索斯--阿基米德引理”：从任何数值减去其本身的一部分，再从余数减去同样比例部分，如此反复进行，那么最后所剩余数必将小于任何预先决定的数值。把它用于以两组多边形分别逼近两条不同曲线，然后通过多边形面积的比较来作相应曲线所围面积的比较，并且用归谬法（即如果A既不大于亦不小于B，则两者必然相等），就可以严格证明后二者的精确关系。

到了尤多索斯，希腊科学的基本精神---追求非常严格的证明，专注于几何形体的测比---就确立了。这就是所谓的“代数几何学”。这种精神集中反映在集雅典时代数学大成的《几何原本》。尤多索斯还有两位非常优秀的学生---门那木发现了抛物线、双曲线和椭圆三种圆锥曲线，另一个学生则证明了“求积线”可以用于求圆面积。天文学因为所涉及的自然现象规律性最强，因此有最大可能与数学结合。

公元前4世纪中叶，尤多索斯提出第一个天体运行数学模型，这是个革命性创举：人不再单纯以言辞解释自然，而首次拟想自然图像（或曰原理），然后利用数学模型来模拟自然现象。而希腊天文学是建立在东方文明，尤其是巴比伦天文学基础上。古埃及天文学一片空白，对后代的影响主要是每年365天的日历和每日划分为日夜两半，每一半又分为12份。而两河流域的天文学则发达得多。

从公元前18世纪开始，巴比伦有11个世纪的量化观测的发展，此后系统、准确的观测大量增加，发现了各种现象规律，最重要的是发现了各种天文周期，比如金、木、水、火、土的会合周期。到尤多索斯时，希腊天文学远远比不上巴比伦的水平与成就，但是到柏拉图为止的许多学者已经取得了很大进步。柏拉图提出了“天体运行轨道是由某些基本圆形轨道复合而成”的思想，统治了西方天文学几乎两千年之久。

尤多索斯据说在公元前380年左右赴埃及向神庙中的祭司学习天文，并且做做实际观测，前后达18个月之久，回来建立了观象台，并且写出了《天象》一书。他建构的人类历史上第一个天体运行几何学模型---“同心球面”模型，虽然因为过于复杂而在100年之内就被放弃，但是空间模型建构理念则自此成为希腊天文学的主导思想。后来很多学者对尤多索斯的模型进行过修订，包括亚里士多德，后者还提出了著名的“地心说”，认为地是球形，完全不动，居于宇宙中心。

这样，到了公元前3世纪末，主要由于尤多索斯在几何学和天文学上的突破，希腊科学不但累积了大量知识和建立起深厚传统，而且已经发展出系统性的新方法。西方第一次科学革命可以说已经处于飞跃发展的前夕了。随后亚历山大城“学宫”就为它的跃升提供了跳板。柏拉图去世以后，亚里士多德另起炉灶，开办了“吕克昂学堂”，形成了新的学派和传统。亚里士多德哲学在中世纪占据了主导地位。

五

希腊科学萌芽于雅典，开花结果却在亚历山大城，我们今天称颂为“希腊奇迹”的就是亚历山大科学，它是与欧几里得、阿基米德等名字紧紧联系在一起的。曾经是亚里士多德学生的亚历山大大帝的东征摧毁了民族藩篱，从而将希腊文明散播到广大地区。他死后帝国一分为三，部将中最有文化意识的是立足于埃及的托勒密。从公元前3世纪开始，希腊文化重心就逐步从雅典转移到尼罗河口的亚历山大城，托勒密所建立的学宫成为西方世界的学术中心。

由于王室的长期资助，亚历山大城的学术发展获得了非常优越和稳定的环境，西方古代科学因此攀上巅峰。除了几何学、天文学之外，还有阿基米德的静力学和几何光学，埃拉托色尼和喜帕克斯的地理学，斯特拉托的机械学。此外，亚历山大还有极为活跃的医学传统，它上承希波克拉底，下开盖伦，还开启了西方的解剖学和生理学传统。

建立亚历山大学宫的构想，来自吕克昂学堂，这与亚里士多德的继承人亦即第二任校长的两位弟子有密切关系。其中一位是斯特拉托，他发展了非常接近现代观念的真空理论，形成了亚历山大的强大机械学传统，那包括气体力学、液体力学、弹道学、发石机设计和制造等等。学宫后来以数学、天文学和实证科学著称，还开创了将科学与应用技术结合的新传统，无疑与斯特拉托的广泛影响有密切关系。

公元前3世纪，作为古希腊理性精神代表的几何学达到了巅峰，这一时期主要数学家有3位：集雅典数学大成，起承上启下之功的欧几里得；应用归谬法将度量几何学发挥到极致的阿基米德；研究圆锥曲线精细入微的阿博龙尼亚斯。他们的成就都不限于数学，不过方法与精神还是以几何学为核心，即是将其推理模式应用、扩展到自然现象上去。阿基米德与阿博龙尼亚斯都属于欧几里得徒孙辈。

欧几里得13卷本的《几何原本》，既非纯粹的几何学著作，也不是初级教材，更非原创性专著。它其实是将此前所有已知数学成果加以编纂而成。欧几里得最重要的贡献，就是将此前许多思想家的推论、定理、结果，以相同结构熔铸于一炉，形成浑然整体---最少，这是他的目标和理想。这一理想深刻影响了西方科学，从此，科学被视为一个具有统一逻辑结构的系统，并且与数学严格联系了起来。

《几何原本》全书接近500道题，都是根据10条公设和公理以及相关定义推断出来，它们形成了一个庞大而严密的逻辑结构。不过书中某些定义有欠周全，更重要的是逻辑结构还不完备。例如他并没有列出所有不可定义的基本观念，更没有意识到著名的第五公设并非必然。直到20世纪前夕，希尔伯特初次重新全面整理几何学系统，使它更为简洁和严格。需要强调的是，本书的严谨推理形式不一定是欧几里得所发明。

《几何原本》包含了3个传统---几何学、毕氏学派的数论以及巴比伦的“几何代数学”。古希腊数学可以说是全面几何化的。欧几里得还有许多其他著作，包括最早研究透视法的《光学》，可能是解析几何学雏形的《推论》，涉及天体运动与球面几何学的《天象》，讨论分割平面图形的《图形分割》以及研究圆锥曲线的《面上轨迹》，等等。

.与集希腊数学之大成的欧几里得相比，阿基米德则是具有无比旺盛原创能力的科学家，他将《几何原本》的推理方法与精神发挥到极致，将之应用于静力学和许多其他方面，并且都做出了卓越贡献。事实上，他应该是古代最伟大的科学家，因为他在数学、物理学、天文学、机械科学等各方面都有超卓成就，其严谨和精妙令人叹服，其重要性与价值也历久不衰。

阿基米德留下了11部传世作品，包括9部数学和2部静力学，此外失传的也有七、八部。这些作品都是原创性论文或专著，所以篇幅简短，题材也高度专门。其结构仿照《几何原本》。从其作品来看，阿基米德是一位几何学家，特别是“度量几何学”专家，因为他最精妙的发现，都是与几何形体的度量，即其长度、面积、体积密切相关。他指定自己的墓碑刻上一个为外切圆柱体包围的球，借以纪念他发现了二者表面积与体积之比都是3:2，而它决定于球面面积为圆周率乘以半径的平方再乘以4.

《宇宙沙数》与《数牛问题》可能是阿基米德的即兴之作，前者估计宇宙容纳的沙粒数目为10的63次方，后者提出了一个有8个未知数的不定方程，一个可能解也涉及惊人的巨大数目。有6部著作探究了各种几何形体的量度，包括：圆、球体、圆柱体、圆锥体、圆锥曲线及其旋转体、螺线，等等，基本上属于今日大学微积分课程水平，但是在2000多年前，其每一项成果都是发挥绝顶智力的精妙之作。这差距主要是因为古代缺乏符号算式、解析几何、微积分等强有力现代数学工具，以致于每一个发现和证明都必须独辟蹊径。

在《圆的测度》中，他严格证明了（1）圆面积等于半径乘圆周之半；（2）223/71<圆周率<22/7。阿基米德还是第一位数学物理学家，他这方面的成就完全是横空出世。他在浴盆中找到灵感的故事脍炙人口，但是他还找到了更为根本的液压原理，并据此证明静止的液面必然是以地球中心为中心的球面。他还研究了各种平面形体的重心，包括梯形、平行四边形、三角形、抛物截面，等等。可以说，在静力学方面，他基本上已经达到现代水平了。

与阿基米德相比，才华相若的另一位科学大师阿博龙尼亚斯则寂寞多了，这应该是因为在当时他的领域太过专门和高深，一般人难以明白其中奥妙，而今日则又已经成为明日黄花之故吧。他堪称圆锥曲线专家，有七卷《圆锥曲线》传世，第八卷失传。在没有方程式可依据时，如此精深的研究，需要超卓的智力和精微的思考。不幸的是，他的其他作品几乎都失传了。

不能不提到与柏拉图争辉的另一位大哲学家亚里士多德。他对于大自然的研究雄心勃勃，其中一个主要领域是物理学。然而很不幸，由于他深受目的论思想，特别是所谓“四因说”的影响，因此几乎他所有与物理学相关的观念、结论都是错误的，在后世都成为反面教材，他的权威地位也成为科学进步的最大障碍。阿基米德等人却全然不同：他们承受和醉心的是纯粹的数学传统。在此传统中所发现的静力学（包括浮体力学）完全经得起时间考验，成为古代自然科学最主要成就之一。

六

由于尤多索斯开创性工作的刺激，更加上亚里士多德及其弟子的推动，希腊天文学从公元前4世纪中叶开始脱离巴比伦的传统模式独立发展，而且和数学一样，从公元前3世纪开始，其中心就转移到亚历山大去了。不过，以几何模型来“重现‘天体运行景象并非其全部，事实上，以理性精神来探索、解释天象背后的成因，以及测度有关的数据，也同样是此时期的重要方向。换言之，希腊天文学不仅仅是”数学性“的，也同样有其”物理性“的一面。

事实上，亚历山大天文学最少有三个相关但不相同方向的发展：1.以奥托吕克思、欧几里得为主要人物的球面几何学；2.以阿里斯它卡斯和埃拉托色尼为主要人物的天体测量；3.以喜帕克斯为代表的天体运行模型建构---但必须强调，他在实际观测和”物理性“探索的工作同样重要，甚至更为突出。由于这一大批学者所奠定的宽广基础，天文学到公元2世纪终于产生像曼尼劳斯和托勒密那样的大师，结出丰硕成果。

在此时期最重要的天文实证研究，走了一条和”观星“传统完全不同的道路：它采取现代科学态度，要从观测所得到的数据来”推断“某些本质数量，即距离和大小---事实上，从一开始，所有观测就都是围绕着明确目标而展开。和阿基米德的静力学一样，这是希腊理性精神应用于自然现象的最佳典范。我们所指的，就是”古代哥白尼“阿里斯它卡斯的工作。他最突出的贡献，是首先提出了日心说。但由于超越时代2000年而没有得到任何支持。

阿里斯它卡斯真正重要且发生广泛影响的工作是《论日月之大小及距离》。此书在结构上受《几何原本》影响，通过严格证明求得地球、日、月三者的直径，以及日距、月距这5个天文数据之间的比例的上下限。另一位广博的学者埃拉托色尼准确测得了地球的周长。他还发明了至今被认为很有效的所谓”埃拉托色尼筛子“---决定素数的方法。另外，他首先使用”地理学“这一词语，被尊为“地理学之父”。

天文学大师喜帕克斯在希腊天文学上的地位，与尤多索斯在希腊数学上的地位大致相当。他的星表在公元前130年编纂完成，准确至20’。他最重要的天文学发现是地轴的“进动”，其得到的进动率与现代值相当接近。他运用“均轮--本轮”模型来描述复杂的月球运动。他还是三角学先驱，他编制的“弦表”意味着平面三角学的萌芽。喜帕克斯是托勒密王朝科学传统的殿军。

公元前212年，阿基米德为罗马士兵所杀，象征着时代巨变的来临：崇尚思辨的希腊文明正走向终结，无情的罗马迟早将扫荡一切障碍，建立大一统帝国，在其中，城邦和区域文化消失，为大众化宗教所取代。不过，希腊科学并没有立刻衰落下去。事实上，经过接近四个世纪的发展，它已经建立起强韧传统。所以，在其后漫长的6个世纪，它仍然人才辈出。然而，在陌生艰苦环境中的科学，却再也无力独领风骚，走上了日趋沉沦的道路。

比喜帕克斯稍晚的迪奥多西留下了一部三卷本的球面几何学教本《论球面》。此书第一卷相当于《几何原本》第三卷，但是将平面的圆圈立体化成为球面，由是圆的直径相当于球面上的“大圈”，弦相当于球面的切面亦即“小圈”，平面上的许多定理由是可以在球面上找到对应。其余两卷是与天文学相关的球面几何学。公元1世纪的赫伦则是亚历山大城机械学传统的继承者。他还写出了《反射光学》。

柏拉图之后，希腊哲学出现了大转向，主要兴起了3大派别，即伊壁鸠鲁创立的伊壁鸠鲁学派，芝诺创立的斯多葛学派，以及怀疑论派。它们的共同点是极为注重人生道德与伦理，将眼光投向此生与社会。柏拉图学园本身，也逐步陷入怀疑论学风，专以攻击其他哲学思想为能事。这对数学与科学的发展显然是极端不利的。

罗马人务实，专注于法律与政治，虽然对先进的希腊文化相当仰慕，但他们对大自然本身缺乏好奇和热诚，因而产生不了追求新发现的冲动，而仅仅视科学为有用的常识。因此，科学在罗马的传播仅限于其粗浅和表面的部分，这就是翻译和重编希腊的各种手册，至于其深刻、精微和先进部分则全然无从窥见。即使西塞罗这样的求知欲最旺盛的罗马人，也都满足于从手册获得希腊科学知识。

接下来出现的新毕达哥拉斯学派和新柏拉图学派，与其说是科学，不如说是神学。只有尼高马可斯值得一提。他的《算术导论》是西方第一部独立成书的算术著作。他对数目进行了详细分类，还记录了各种有关数列和级数的定则。他让算术脱离几何，获得了独立地位。他在书中使用阿拉伯而不是希腊数目字。书中还出现了第一个乘数表。但他却抛弃了严格证明的观念，这不能不说是一个大倒退。

西方古代科学奠基于雅典，发扬光大于托勒密王朝的亚历山大城，而完成于罗马帝国治下的亚历山大。说“完成”，主要指天文学家托勒密，特别是他的《大汇编》。此百科全书式的巨著融汇了大量前人工作与作者自己的观测和理论创见，构成了一个宏大、完整的宇宙体系，直到15世纪仍然为西方学术界宗奉。在托勒密完成大业之后700年间，竟然再无值得称道的天文学家出现。换言之，在古代西方，他竟然成了绝响。

公元1世纪的曼尼劳斯的《论球面》是球面三角学的开山之作。第一卷是有关球面三角形的几何学，其中包括3内角之和必然大于180度的证明。第二卷是球面三角与天文学关系的论述，内容相当于迪奥多西《论球面》第三卷的推广。最重要的第三卷论述球面三角学。全书不仅推理严谨，而且构思精妙，可以视为欧几里得平面几何学在球面上的再现。不过他注重实用，偏离了古希腊纯粹几何学传统。

《大汇编》共13卷，约40万字，包括20个表，近200幅图解，基本上是一部专业数理天文学汇编。主要内容有：1.球面三角学；2.天文观测数据，包括历史资料和本人观测数据；3.由观测所决定的星表；4.计算所得到的大量天体运行数表；5.前人（主要是喜帕克斯）理论工作述评；6.天文仪器的原理与构造。它实际上相当于一套专业天文学百科全书。

托勒密发展了三角学，编制了一个非常精确的弦表。另外他还形成了函数观念，甚至出现了多变量函数。《大汇编》引用的天文数据时间跨越千年，观测地点也相距万里。他依据的原理是“本轮---均轮”模型。为了追求精密，模型变得越来越复杂。但总起来说，这是人类以量化方式了解自然界动态现象的最早尝试，是非常成功的，因此激起了无数后来者的好奇与雄心，最后令他们超越了原来的观念局限，更上一层楼。

托勒密星表一共列出分布在48个星座中的1022颗恒星，每一颗都有位置描述、黄经、黄纬以及星等（表观亮度从1---6等的划分）。他凭肉眼订定的星等相当精确，3等以上颇接近现代值。行星理论是喜帕克斯未曾涉足而由托勒密开创的领域。《大汇编》之外，托勒密还有5种其他天文学专著，其中《数表手册》是《大汇编》里面所有与天文、数学计算有关的数表的集子。他还有8卷本的《地理学》，是古代地理学的典范。

西方地理学真正成为一门独立学科，要从斯特拉波算起。他在公元1世纪完成的17卷《地理志》成为古代西方地理学内容最丰富，也最重要的百科全书。马林诺斯提出以方格网作为地图坐标，其中横方向代表经度，纵方向代表纬度。托勒密时代的“已知世界”约为地球表面的四分之一，他从地球仪上知道，这样广大的区域是高度弯曲的。为了在平面上准确表现，他采用了相当于圆锥投影法和透视法的方案绘制地图。这对西方地理学、绘图法有决定性影响。

托勒密还以其勤恳和博学写出了5卷本《光学》。他讨论了视觉原理、反射和折射现象，最值得注意的是它题材之宽广以及与现代实验精神之接近。这特别表现在仪器的设计与应用：他不但制造实验仪器来研究由双眼并用而产生的立体视觉，而且已经懂得应用凸透镜、凹透镜以及它们的组合来成像，并且试图发现有关影像规律和大小的规律，更曾经用一个周围刻上角度度数的圆盘来研究光线以不同入射角在不同介质之间的折射，从而得到接近于现代斯涅尔定律的结果。

托勒密的系统虽然辉煌壮观，但说到底，罗马时代并不属于科学与哲学，而属于帝国与宗教，所以在它之后，西方科学便进入夕阳阶段。不过，这仍然是一段漫长时光，而且不乏动人心弦的晚钟，像3---4世纪的杰出数学家丢番图和泊布斯。丢番图的13卷《算术》有6卷传世，使我们得以窥见古代西方代数学雏形的诞生。此书主要解决两类代数方程：1.决定型的一次和二次代数方程，包括联立方程；2.不定型的方程和相关问题。

此书最重要的创新在于符合的应用，例如未知数、相等、倒数、二次---六次幂、相减等运作，在书中都用特殊符合表达，因此就出现了类似于方程式的数式。不过，它所应用的符合种类不足（例如只有一个未知数符号，加、乘缺乏符号，相除仍然用文字表达，等等），所以，这还只是“类方程式”；而且，它仍然未曾意识到二次方程有两个