原创：中科院物理所

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数学是科学吗？答案一方面取决于什么是“数学”，另一方面也取决于什么是“科学”。一部分德高望重的科学哲学家会给出否定的答案，而其他人会坚信“答案是肯定的”。

所以在回答问题之前，我们需要对问题中各个词语的含义达成共识。

什么是科学？

给“科学”下定义本身就是个相当棘手的问题。人们很容易就会说到“科学”（无论有没有前缀和后缀）和“科学的”，但大多数人很难就什么称得上是科学问题而什么不是科学问题提供一个能自圆其说的答案。

我问了一位做大学教授的朋友安德鲁·利亚斯（Andrew Lias）这个问题，他给了我下面的回答：

科学是一种认识论形式，就像任何好的认识论一样，它试图区分真实陈述和虚假陈述，从而实现知识的积累。科学与其他认识论的一个主要区别是它是 a) 系统的和 b) 非教条的。一门正确的科学必须具有证实其主张的方法以及识别和拒绝错误主张的方法。这些方法也应该是系统性的。

让我们先认可这个定义，也认可这里的“真实”与“虚假”是指与“外部”世界的客观实际相一致。

数学看起来不太符合这个定义：公理非常接近教条，它似乎不在乎真与假，甚至不在乎外部世界；数学有证明，但似乎没有实验；数学不遵从科学方法。不过，事实真的如此吗？

一些历史

绝大多数人从未接触过现代数学研究。人们或许知道数学是处理方法、算法和规则的集合（比如二次方程的求根公式、求导数的规则和乘法法则等），或者可能知道欧几里得（Euclid）的公理化模型（引理、证明，定理、证明，推论、证明，所有这些都基于已知的抽象概念和“不证自明”的公理）。但事实上，数学并不是上述二者，尽管有些时候它接近于这些直观印象。

直到 19 世纪，从事“抽象数学”的人都被称为几何学家，他们通常是哲学家、业余爱好者或利用空闲时间研究相关内容的物理学家和数学家。主要的数学著作要么涉及类似于欧几里得的突破进展，要么是对于解决具体问题的方法和算法的总结归纳（例如丢番图和斐波那契的著作）。几乎所有其他做数学的人也都在做物理。事实上，直到1800年代早期，最著名的数学家都以某种方式与物理学联系在一起：牛顿、伯努利、傅里叶，甚至费马；数学家王子高斯的正式职位是天文学家，他在物理学方面做了大量工作。那时的数学与物理混在一起。

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唯一难以归入上面分类的数学是数论，在高斯具有里程碑意义的《算术研究》问世之前，它一直被认为是休闲数学。它不是严肃的研究，而是游戏。

在接下来的 19 世纪，转折出现了。数学开始作为一个独立的学科发展起来。一方面，这与过去积累下的一些问题有关：微积分中的基础问题、使用幼稚和直观概念进行证明导致的疑难、以及非欧几何的发现。另一方面，它也有赖于新思想和新方法的爆发：群论、复分析和代数的开端，以及世纪之末的朴素集合论的发展（后来被公理化变体取代）和非构造性存在证明的出现（最著名的是希尔伯特的有限基证明）。

在这场危机中，物理学和数学之间出现了裂痕。虽然大多数数学家仍然致力于解决源自物理学的问题，并且大多数物理学家仍然解决数学问题，但他们的重点有所不同。总的来说，物理学家不太关心基础问题，因为微积分及其推导显然有效。这些疑难、悖论和矛盾对哲学家来说可能很有趣，但它们并不是人们在“真实”问题中可能遇到的事情。然而，数学家们非常关心这些问题，并努力尝试将他们的大厦建立在坚实的基础上。

在这场危机中，出现了两个主要的数学思想流派，克罗内克学派和希尔伯特学派。它们都同意数学需要建立在更坚实的基础上。克罗内克学派相信算法和处理方法是数学的核心，这些算法或方法来自于一些基于经验现实的明确定义的概念；这里的“经验”必须模糊地理解：克罗内克的著名格言是“上帝给了我们整数；其余的是人的工作”，这意味着他认为（可能是无限的）整数集合是一个“经验现实”。他们被称为“建构主义者”、“直觉主义者”或“形式主义者”。对于希尔伯特学派来说，自洽性和趣味性才是最高标准。一个数学理论应该建立在明确陈述的公理和规则的基础上，但问公理是“真”还是“假”是没有意义的。他们认为，唯一必要的问题是：(i) 是否有可能使用公理和规则来证明一个命题及其否命题？(ii) 由此产生的理论是否有趣？如果分别给出了“否”和“是”的回答，那么这个理论将被认为是可以接受的。（问第一个问题的原因是，在经典逻辑的规则下，如果一个命题和它的否定都可以证明，那么任何东西都可以证明。这样的理论，显然是既无趣也无用的。）

大卫·希尔伯特

然而，这些公理不需要与“现实”有任何关系。希尔伯特曾说：“在几何公理系统中，必须总是可以用‘桌子’、‘椅子’和‘啤酒杯’代替‘点’、‘线’和‘面’。” 也就是说，公理的实际含义是无关紧要的；它们的语义内容在数学中不起作用。

最后，大多数数学家接受了希尔伯特学派的观点。主流数学家将数学描述为遵循经典欧几里得公理的模型。也许可以在布尔巴基的作品中可以找到一些典型的例子。它还极大地影响了数学论文的写作和高等数学的教学方式。后面还会更详细地说明。

如今，数学被粗略分为两种：应用数学和纯数学。应用数学是由实际问题抽象出的数学，比如统计和微分方程等。纯数学处理理论框架产生的问题，通常只关于数学。然而，这种区别在很大程度上是人为的。例如，数论曾一度被认为是最纯粹的纯数学，是绝对不可能有实际应用的数学分支。然而，近年来，它已成为现代密码学的基石，并发展出非常强大的应用分支。

为什么要讲历史？

介绍上面这些内容有什么意义？嗯，关键是希尔伯特学派在 20 世纪和今天对数学产生了非常大的影响。当一个人研究数学时，这种影响反过来又有助于产生和推崇一种特定的写作风格。这就是许多人都知道的枯燥的定义-引理-定理-推论风格。

这种风格的“问题”在于它掩盖了数学是如何完成的。从事专业研究的数学家不会先写出定义，然后写定理及其证明，中间还将某些关键步骤作为引理分开。研究论文和书籍中报道数学的方式与数学实际的研究方式大不相同。

这种流行风格导致除了专业的数学研究人员之外每个人都倾向于对数学的研究方式有偏见。这反过来又导致一些哲学家得出结论，数学不是一门科学，因为它的方法（显然）与其他经验科学的方法如此不同。我将在下次文章论证，一旦我们超越了写作风格所提供的表象并真正接触到数学的研究方式，那么这个结论实际上是毫无根据的。

这种风格的另一个影响是，希尔伯特学派从一开始，尤其是在戈德尔（Goedel）、图灵（Turing）和丘奇（Church）等人的工作之后，就放弃了“真”和“假”的观念，转而支持“可证明”、“可证伪”和“不可判定”的观念。我们对科学的定义非常强调真理，因此似乎也可以得出这样的结论，只要数学似乎无论如何都不关心真假，它就不能被视为科学或科学的探索。