先计算3只鸭子的情况,4只鸭子类似,但计算较为复杂。
首先要认识到下面几点:
【资料图】
(1)任一鸭子沿径向移动任意距离,不影响鸭群位于或不位于同一半圆的分布。
据此,可认为所有鸭子均位于单位圆的圆周上。
(2)任两鸭子交换位置,不影响鸭群位于或不位于同一半圆的分布。
据此,可认为所有鸭子是无差别的。事实上,本题更正确的提法是4只形状大小完全相同的浮球均匀分布在池塘里,求它们位于同一半圆的概率。
(3)所有鸭子绕圆心整体旋转任意角度,不影响鸭群位于或不位于同一半圆的分布。
据此,我们可以3只鸭子所下图分布:
其中一只鸭子A位于X轴上,并且它与相邻的另一只鸭子B(逆时针)的夹角X是3个相邻夹角(X,Y,Z)中最大的一个夹角。若不然,我们总 可以将鸭群整体旋转一个适当角度,使它成为上述的标准分布。
显然,鸭子群的任一分布,唯一对应一个标准分布。
另一方面,对于任意给定的3个数X,Y,Z,集合S={(X,Y,Z)|X+Y+Z=2 PI,X>Y>0,X>Z>0}中的任意一点,唯一对应上述一个标准分布(X>Y实为大于等于)。
换言之,标准分布与集合S是一一对应的。
显然,鸭群分布在同一半圆内的充分必要条件是:(X,Y,Z)属于S且X大于等于PI。
集合S1={(X,Y,Z)|X+Y+Z=2 PI,X>0,Y>0,Z>0}的图形是等边三角形ABC。
集合S3={(X,Y,Z)|X+Y+Z=2 PI,X>Y>0,Z>0}的图形是直角三角形ACD,其中D是AB的中点。
集合S4={(X,Y,Z)|X+Y+Z=2 PI,X>Z>0,Y>0}的图形是直角三角形ABE,其中E是AC的中点。
于是,集合S1就是集合S3与S4的公共部分(交集),即四边形ADFE,基中,F是BE与CD的交点。
这就是说,对于四边形ADFE中的任意一点,唯一对应一个鸭群(3只)的标准分布,反之,3只鸭子的任何一个标准分布,也唯一对应于四边形ADFE中的某个点。四边形ADFE与鸭子的标准分布是一一对应的。
不难看出,在四边形ADFE中,使X>PI的点必位于等边三角形ADE中,这是鸭子位于同一个半圆的标准形。
故,3只鸭子位于同一半圆的概率=三角形ADE的面积/四边形ADFE的面积=3/4=75%.
至于4只鸭子的情形,这里只给出简单提示。
四只鸭子群,相邻两只鸭子的4个夹角,X1,X2,X3,X4,满足X1+X2+X3+X4=2PI。这是一个正四面体ABCD。E,F,G分别是AB,AC,AD的中点,P是BG与DE的交点,Q是CG与DF的交点,R是CP与BQ的交点。则4只鸭子的标准分布的集合为六面体AEFGR。其中4只鸭子位于同一半圆的标准集为正四面体AEFG。
故,四只鸭子位于同一半圆的概率为:
正四面边AEFG的体积/六面体AEFGR的体积。
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