前段时间,观网出现了一道据说是奥数题,问4只鸭子在一个圆形池塘里随机游玩,它们位于同一个半圆的概率是多少?答案五花八门,但几乎就没有几个是正确的。其中最多的人选择了1/2这个答案(实际上这道题的正确答案是2/3)。
判别网友所用的方法是否正确其实很简单。
第一,既然能算出4只鸭子的概率,当然就能算出3只,5只,乃至N只鸭子的概率。如果所述的方法只适合算4只,而不能算出任意N只,那么所用的方法是否适当,就值得疑问。
(相关资料图)
第二,既然能算出4只鸭子分布在同一个半圆的概率,自然也应该能算出4只鸭子分布在同一个1/3圆,1/4圆,乃至1/n圆的概率。而这里面有一个很明显的结论,就是4只鸭子分布在同一个3/4圆的概率是100%!
也就是说,无论4只鸭子如何分而,我们总可以找到一个3/4圆,将这4只鸭子圈在其内部。如果网友所使用的方法不能得出这个结论,那就是明显错误的方法。
上个星期,我写了一篇文章来计算3只鸭子分布在同一个半圆的概率,4只鸭子的情况做了简述,没有具体计算(事后我计算得出4只鸭子分布在同一半圆的概率是2/3,N只鸭子分布在同一个半圆的概率是N/2(N-1)。)
文章的所用的方法虽然是正确的,但计算太繁琐,不适合初中奥数。今天,我将用奥数的方法再次计算,得出相同的结论。
如果,4只鸭子ABCD任意分布于圆内,4个相邻的鸭子的夹角分别为X1,X2,X3,X4。我们总可以找到其中最大的一个夹角(图中为X3),并切除之(如右图所示)。
显然,这样得到的圆域是鸭子可能分布的一个最小圆域。4只鸭子分布在同一个半圆,当且仅当这个最小圆域小于等于半圆。
但X3是四个角之中最大的一个角,这不可能小于PI/2。否则四个角都小于PI/2而它们的和不可能等于2PI!(这就证明了四只鸭子必然位于一个3/4圆域内)。
由于X3可以取 PI/2 至 2PI 之间的任何一个角,假设它均匀分布(?),于是4只鸭子分布在同一半圆的概率就是 PI/(2PI-PI/2)=2/3。
同理,不难得出,N只鸭子分布在同一个半圆的概率是 N/2(N-1)。
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